Question

一道高中数学题（概率）

假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P的取值范围是？

不许只说答案，要有过程。。。。。。。。

Answer 1

解：引擎在飞行中出现故障率为1－p，则正常运行的概率为p
2引擎飞机成功飞行的概率为p^2
4引擎飞机的情形分两种：4个引擎全部正常运行，概率为p^4， 四个引擎有三个正常，一个故障，概率为C(4,3)*p^3*(1-p)=4(1-p)*p^3
故4引擎飞机成功飞行的概率为p^4＋4(1-p)*p^3
按题意，有
p^4＋4(1-p)*p^3>p^2
即 p^2+4p(1-p)>1
3p^2-4p+1<0
(3p-1)(p-1)<0
显然3p-1 和p-1是一正一负，又3p-1>p-1,故
3p-1>0,p-1<0
解得 1/3<p<1

【附注：题目要求4引擎飞机比2引擎飞机“更安全”，故列不等式时使用的是p^4＋4(1-p)*p^3>p^2，而非p^4＋4(1-p)*p^3>＝p^2。
显然，当p=1/3或p=1(实际上不可能出现的),两者的安全性是相同的。】