Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△APQ的面积为7.2cm²

（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形？

（3）如图，作Q关于AB的对称点Q`，是否存在某时刻t使qq`垂直平分AP？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由





Answer 1

1. AQ=2t，AP=10-2t  很容易知道三角形ABC是直角三角形，做PH垂直于AC

   根据比例，AP/PB=PH/BC，得到PH=6-1.2t

   三角形APQ的面积=1/2*AQ*PH=1/2*2t*(6-1.2t)=7.2 得到t=2或者t=3

2. 若三角形APQ是直角三角形，则有比例等式AQ/Ac=AP/AB 即2t/8=(10-2t)/10

   解得t=20/9

3. 存在 假设QQ‘垂直AB于M 则三角形AQM相似于三角形ABC

   于是 AQ/AB=AM/AC 即2t/10=(5-t)/8 得t=25/13

Answer 2

1. 由题意得AQ＝2t，AP＝10－2t，sinA＝3／5，

       则SΔAPQ＝1／2×(10－2t）×2t×sinA＝7.2

                        即  t²－5t＋6＝0   t＝3，t＝2

  当 t=2时AP=6＞0，AQ=4＜8，可得符合题意

  当 t=3时AP=4＞0，AQ=6＜8，符合题意。

  2.当ΔAPQ为直角三角形时，有且只能是∠APQ或∠AQP为直角。

     当∠APQ为直角时，cosA=4／5=(10－2t）／2t

                      即  t=25／9  经验证的符合题意

    当∠AQP为直角时，cosA=4／5＝2t／（10－2t）

                     即   t=20／9 经验证得符合题意

  3.假设存在，则易得AQ=BP即三角形AQP为等腰三角形  则AP=cosA×2t×2=10－2t

                     即t=25／21   易得AQ=50／21