Question

在三角形ABC中角BAC=90度，AB=AC，AE是过点A的一条直线且BD垂直于AE与D，CE垂直于AE于E。

（1）当直线AE位于如图1的位置时，求证：DE=Bd-CE。
（2)当直线AE位于如图2的位置时，判断DE,BD,CE之间的关系，并说明关系，并说明理由。
（3）当直线AE位于三角形ABC外部时，在图3画出相应的图形后，判断DE,BD,CE之间的关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠ADB=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAD+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE
∵∠ADB=∠CEA=90° AB=CA
∴⊿ABD≌⊿CAE
∴AD=CE BD=AE
∵AE=AD+DE
∴BD=CE+DE
(2)CE=BD+DE.
∵∠ADB=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAD+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE
∵∠ADB=∠CEA=90° AB=CA
∴⊿ABD≌⊿CAE
∴AD=CE BD=AE
∵AD=AE+DE
∴CE=BD+DE
(3)（不便于画图，自己画图）DE=BD+CE.
∵∠ADB=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE
∵∠ADB=∠CEA=90° AB=CA
∴⊿ABD≌⊿CAE
∴AD=CE BD=AE
∵DE=AD+AE
∴DE=CE+BD

Answer 2

图1中
∵BD⊥AE CE⊥AE ∠BAC=90°
∴∠BAD=∠ACE
又 ∠ADB=∠CEA=90°
AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE AD=CE
∴DE=AE-AD=BD-CE
在图2中
∵BD⊥AE CE⊥AE ∠BAC=90°
∴∠BAD=∠ACE
又 ∠ADB=∠CEA=90°
AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE AD=CE
∴DE=AD-AE=CE-BD
在图3中
∵BD⊥AE CE⊥AE ∠BAC=90°
∴∠BAD=∠ACE
又 ∠ADB=∠CEA=90°
AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE AD=CE
∴DE=AD+AE=CE+BD