Question

有关于高三导数的一道题目

已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[1/e,1],总存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y^(2)e^y成立，则实数a的取值范围是（）

A.[1/e,e] B(2/e,e] C(2/e,+∞ ) D(2/e,e+1/e)

Answer 1

答：
选B

令f(x)=lnx-x+1+a，f'(x)=1/x-1，在[1/e,1]内f'(x)≥0，所以单调增。
f(1/e)=a-1/e，f(1)=a；
令h(y)=y^(2)e^y，同理求导得在[-1,1]内有最小值h(0)=0
h(-1)=1/e，h(1)=e；

要使得任意x∈[1/e,1]存在y∈[-1,1]值与之相等，则f(x)的最大值不能大于h(y)的最大值
即f(1)≤e，所以a≤e；
因为h(y)在[-1,0]递减，在(0,1]递增，所以h(y)值域在(0,1/e]时，有两个y值与之对应。
若只有唯一的y，则f(x)的最小值要比1/e大。所以f(1/e)>1/e，所以a>2/e

所以a取值范围为(2/e,e]