Question

如图,在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m>4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质。

专题：探究型。

分析：（1）假设存在一点P，使点Q与点C重合，再设AP的长为x，利用勾股定理即可用x表示出DP、PC的长，再在Rt△PCD中利用勾股定理即可求出x的值；

（2）连接AC，设BP=x，则AP=m﹣x，由相似三角形的判定定理得出△PBQ∽△ABC，△APD∽△BQP，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BQ的表达式；

（3）连接DQ，把四边形PQCD化为两个直角三角形，再用m表示出PD及CQ的长，利用三角形的面积公式即可解答．

解答：解：（1）存在点P．

假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图1所示，设AP的长为x，则BP=10﹣x，

在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，

在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（10﹣x）2，

在Rt△PCD中，CD2=DP2+PC2，即102=42+x2+42+（10﹣x）2，

解得x=2或8，

故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；（2）连接AC，设BP=x，则AP=m﹣x，

∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴=，即=①，

∵DP⊥PQ，

∴∠APD+∠BPQ=90°，

∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，

∴∠APD=∠BQP，

∴△APD∽△BQP，

∴=，即=②，

①②联立得，BQ=；（3）连接DQ，

设AP=x，由（1）知在Rt△APD中，DP2=AD2+AP2，即DP2=42+x2，

在Rt△PBC中，PC2=BC2+PB2，即DP2=42+（m﹣x）2，

若△PQD为等腰三角形，则42+x2=42+（m﹣x）2，

解得x=，

∵BQ=，

∴CQ=4﹣=，

∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ，

即S=××+××m=（m＞4）．