Question

设函数f<x>=（ax+1）/（x+2a）在区间<-2,正无穷>上是增函数,那么a的取值范围是

Answer 1

f<x>=（ax+1）/（x+2a）(x≠-2a)
= [a(x+2a)+1-2a²]/(x+2a)
=a+(1-2a²)/(x+2a)
f(x)在区间(-2,正无穷)上是增函数,
(1) -2a≤-2 ,a≥1
(2) 1-2a²<0 ,a²>1/2,
==>a<-√2/2或a>√2/2
∴a的取值范围是a≥1

追问

-2a≤-2和 1-2a²<0 什么意思没看懂

追答

x=-2a是间断点
f(x)在区间(-2,正无穷)上是增函数,
间断点不能在区间内部
∴-2a≤-2

f(x)的图像是由反比例函数y=(1-2a²)/x平移而来的
反比例系数只有当1-2a²<0时 ，
y=(1-2a²)/x在(0,+∞),(-∞,0)上分别是减函数

∴要1-2a²<0

Answer 2

f'(x)=[a(x+2a)-(ax+1)]/[(x+2a)^2]=(2a^2-1)/[(x+2a)^2]>0
所以2a^2-1>0且-2a<=-2
解得a>=1