Question

怎么用反证法证明根号2是无理数

Answer 1

首先要知道任何有理数都可以写成a/b的形式，其中a和b都是整数。
对于这题用反证法：
假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n（m,n都是正整数，且m,n互质，如果不互质，那么我们还可以约分，就没有意义了）
根号2=m/n
两边平方化简
得
2n^2=m^2
于是m一定要是偶数，可以设m=2s
其中s是正整数
那么2n^2=4s^2
化简n^2=2s^2
于是n也一定要是偶数，于是
m
n
都是偶数
这就和假设m
n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数

Answer 2

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:
根号2=p/q
于是
p=(根号2)q
两边平方得
p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。

Answer 3

设
根号2
是有理数，
且
根号2
＝m/n,
m,n无公约数。两边平方，
有
2＝(m^2)/(n^2)
故
m^2
＝
2*(n^2)
可见m为偶数。
令
m＝
2k，
有
（2k）^2
＝
2*(n^2)
故
n^2
＝
2*(k^2)
即
n为偶数。
这样，
m、n
均为偶数，
它们有公约数2。
这与假设相矛盾，故根号2不是有理数而是无理数

Answer 4

如果√2是有理数,必有√2=p/q（p、q为互质的正整数）
两边平方：2=p^/q^
p^=2q^
显然p为偶数,设p=2k（k为正整数）
有：4k^=2q^,q^=2k^
显然q业为偶数,与p、q互质矛盾
∴假设不成立,√2是无理数