Question

如图，在四面体A-BCD中，AD垂直平面BCD，BC垂直CD,AD=2,BD=2根号2，M是AD的

如图，在四面体A-BCD中，AD垂直平面BCD，BC垂直CD,AD=2,BD=2根号2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在 线段AC上，且AQ=3QC,
求证PQ垂直AD

Answer 1

找BD中点E,连接PE。过点Q作QF∥AD
∵P,E分别为BM,BD中点，∴PE=1/2MD（中位线定理）又∵DM=1/2AD,∴PE平行且等于1/4AD
又∵QF∥AD，Q为AC四等分点，∴QF平行且等于1/4AD
∴QF平行且等于PE，则四边形PEFQ为平行四边形
∴PQ∥EF
∵AD⊥面BCD，EF在平面BCD内
∴AD⊥EF
已证PQ∥EF,∴PQ⊥AD ，得证 （望采纳）

Answer 2

（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．
因为AQ=3QC，所以
QF∥AD，且QF=AD
因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以
OP∥DM，且OP=DM
又点M是AD的中点，所以
OP∥AD，且OP=AD
从而
OP∥FQ，且OP=FQ
所以四边形OPQF是平行四边形，故
PQ∥OF
又PQË平面BCD，OFÌ平面BCD，所以
PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）作CG^BD于点G，作GH^BM于点HG，连接CH，则CH^BM，所以ÐCHG为二面角的平面角。设ÐBDC=θ．
在Rt△BCD中，
CD=BDcos θ=2cos θ，
CG=CDsin θ=2cos θsin θ，
BG=BCsin θ=2sin2θ
在Rt△BDM中，
HG==
在Rt△CHG中，
tanÐCHG=
所以
tan q=
从而
q=60°
即ÐBDC=60°．