Question

∫∫e^（x²＋y²）dσ:x²＋y²=4

Answer 1

因为线积分积分域为圆：x²＋y²=4
改为圆坐标系
x=2cosa
y=2sina
dσ=rda=2da

∫∫e^(x²＋y²)dσ
=∫(0→2π)e^4·2da
=4π(e^4)

另解：
因x²＋y²=4为常数，
因此被积分式e^(x²＋y²)=e^4为常数；
原积分式可直接写出答案：
∫∫e^(x²＋y²)dσ=∫∫d[(e^4)σ]=(e^4)σ=4π(e^4)

若题主笔误，实际所求积分为面积分，即积分域为x²＋y²≤4
则：
改为圆坐标系
x=rcosa
y=rsina
dσ=r·da·dr
a从0积分到2π,
r从0积分到2

∫∫e^(x²＋y²)dσ
=∫∫e^(r^2)rdrda
=1/2·∫∫e^(r^2)d(r²)da
=1/2·∫∫d[e^(r^2)]da
=1/2·∫(e^4-1)da
=π(e^4-1)