Question

函数(1+1/x)的x次幂，单调性证明过程？具体的，谢谢了

问题补充：x>0

Answer 1

（1 1/x）的x次方=e的xln（1 1/x）次方
先求 xln（1 1/x）的单调性
对其求导 得：ln（1 1/x）-1/（1 x）
因无法直接求出其单调性
在对其二次求导 得：1/（1 x）²-1/x（1 x）=-1/x（x 1）²＜0 说明一阶导数单调递减的 当x趋于无穷时 一阶导数＞0所以以函数xln（1 1/x）为单调递增的 所以原函数也是单增的
祝学习进步

追问

当x趋于无穷时，一阶导数＞0，这是为什么呀？是不是因为①当x趋于无穷时，一阶导数=0；又根据②二阶导数0。综合①②得出结论的是么？谢谢哦~

追答

一阶导数单调递减且大于0 说明xln（1 1/x）是单增的 且因为x趋于0时 xln（1 1/x）＞1则可得e的xln（1 1/x）是单增的 也就是原式子（1 1/x）的x次幂是单增的了 明白了吧

Answer 2

函数(1+1/x)的x次幂
对其求导 得(1+1/x)^(x-1)*(1/x)'=-x^(-2)*(1+1/x)^(x-1)
问题补充：x>0

所以导数小于0
函数单调递减

追问

不好意思，幂指函数求导，化成对数求导后结果为：Ln[(1+x)/x]-[1/(x+1)]，再判断这个结果的正负。你的求导结果想去甚远，而且你还直接再加上x>0就轻易判断所求函数的导数0，函数单调递增，亲，你的功力···还是谢谢你

Answer 3

一阶导数大于0，说明原函数递增，越来越趋于0，说明增加得越来越慢，x无穷大时，增量几乎快要为零了，有点类似于物理里面加速度减小的加速运动