Question

用黄金分割法求函数f(x)=3x^2-4x+2的极小点,给定x0=0,h=1,ε=0.2

Answer 1

f'（x）=ex（x3-3x2-9x+a+3）（Ⅰ）当a=1时f'（0）=4，f（0）=1函数在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1（Ⅱ）
f'（x）=ex（x3-3x2-9x+a+3）设g（x）=x3-3x2-9x+a+3，则g'（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1）∴g（x）的极大值为g（-1）=a+8，极小值为g（3）=a-24，由于f（x）有三个极值点?f'（x）有三个零点?g（x）有三个零点∴g（x）的极大值为正，且极小值为负，即
a+8＞0，a-24＜0可得-8＜a＜24（Ⅲ）由题意知，G（x）=[f'（x）-f（x）]e-x+ex=ex+3x2-12x+3∴G'（x）=ex+6x-12故G（x）的图象在M处的切线的斜率为k0＝G′(x1+x22)＝ex1+x22+3(x1+x2)?12直线AB的斜率kAB＝G(x1)?G(x2)x1?x2＝ex1?ex2x1?x2+3(x1+x2)?12如果k0=kAB，则ex1?ex2x1?x2＝ex1+x22则
ex1?ex2＝ex1+x22(x1?x2)可化为ex1?x22?ex2?x12＝(x1?x2)令x1?x22=t，上式即为et-e-t=2t构造函数h（x）=ex-e-x-2x，则h'（x）=ex+e-x-2≥0，则h（x）在R上是增函数，因为h（0）=0，所以h（t）=0的充要条件是t=0．此时
x1=x2与条件矛盾．所以G（x）的图象没有“平衡切线”

Answer 2

已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈【0，2】
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（1）求f(x)的值域
（2）设a≠0，函数g(x)=1/3*a*x^3-a^2*x,x∈【0，2】。若对任意x1∈【0，2】，总存在x0∈[0,2],求得f(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围。
已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈[0,2]
(1)求f(x)的值域
解：x=0时，有f(x)=0；x≠0时，有
f(x)=4x/(3x^2+3)
=(4/3){1/[x+(1/x)]},
又h(x)=x+(1/x)在(0,1)上为减函数，在[1，2]上为增函数，所以h(x)=x+(1/x)在x=1时取最小值2，从而f(x)=4x/(3x^2+3)≤2/3。即f(x)的值域为[0，2/3]。
(2)设a不等于0，函数g(x)=1/3
ax^3-a^2x,x∈[0,2]。若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使f(x1)-g(x2)=0。求实数a的取值范围
解：由题意可知，“对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使f(x1)-g(x2)=0”成立的充要条件为“函数g(x)=1/3
ax^3-a^2x（x∈[0,2]）的值域为[0，2/3]的子区间”。
当a＜0时，g'(x)=
ax^2-a^2＜0，函数g(x)=1/3
ax^3-a^2x,x∈[0,2]为减函数，且g(0)=0，所以，此种情况不成立。
当a＞0时，令g'(x)=
ax^2-a^2=0，得x^2=a，x=√a。由于g(0)=0，又函数g(x)=1/3
ax^3-a^2x（x∈[0,2]）的值域为[0，2/3]的子区间，所以，g(x)在区间[0,2]上必为增函数，即必有√a≥2，得a≥4,且g(2)=8a/3-2a^2≤2/3。解得a≤1/3或a≥1。
综合知a≥4即为所求。