Question

已知函数f(x)=ax+1/a(1-x)(a>0) ，且f(x) 在【0，1】上的最小值为g(a),试求 g(a)的表达式，并求g(a)

已知函数f(x)=ax+1/a(1-x)(a>0) ，且f(x) 在【0，1】上的最小值为g(a),试求 g(a)的表达式，并求g(a)的最大值

Answer 1

由于 f(x)=ax+(1/a) (1-x)=[(a^2-1)/a]x+1/a故，下对x的系数(a^2-1)/a进行讨论： 当系数(a^2-1)/a=0时，即a=1时： f(x)=1/a，则f(x)的最小值=f(x)的最大值=g(a)=1/a ； 由于g(a)=1/a,为单调递减的双曲函数， 当a趋近于0时，g(a)无限趋近于正无穷，故g(a)无最大值！ 当系数(a^2-1)/a>0时，即a>1时： f(x)为单调递增的一次函数， 则f(x)的最小值=f(0)=1/a=g(a) f(x)的最大值=f(1)=a 而g(a)=1/a ，同上g(a)仍无最大值； 当系数(a^2-1)/a<0时，即0<a<1时： f(x)为单调递减的一次函数， 则f(x)的最小值=f(1)=a=g(a) f(x)的最大值=f(0)=1/a 而g(a)=a ，为单调递增的一次函数， 当a趋近于无穷大时，g(a)无限趋近于正无穷，故g(a)无最大值！ 综上所述： 当0<a<1时，f(x)的最大值=1/a，g(a)无最大值； 当a=1 时，f(x)的最大值=1/a，g(a)无最大值； 当a>1 时，f(x)的最大值=a，g(a)无最大值；