Question

如图，抛物线y=-x的平方+2x+3与x轴分别交于A,B两点，与y轴的正半轴交于C点，

如图，抛物线y=-x的平方+2x+3与x轴分别交于A,B两点，与y轴的正半轴交于C点，抛物线的顶点为D，连接BC,BD，抛物线上是否存在一点P，使得角PCB=角CBD，若存在，求P点的坐标，不存在说明理由

Answer 1

令Y=0，则X1=-1，X2=3
所以A(-1，0）、B（3，0）
令X=0，则Y=3
所以C（0，3）
D点横坐标为X=-2/（-2）=1，代入X=1，Y=4
所以D（1，4）
设直线BD解析式为Y=KX+B，代入B、D坐标
3K+B=0①
K+B=4②
K=-2，B=6
因此直线BD为Y=-2X+6
只要（1）PC∥BD，则有∠PCB=∠CBD
设直线PC为Y=-2X+B，代入C点坐标：
B=3
直线PC解析式为Y=-2X+3
联立：-2X+3=-X²+2X+3
X²-4X=0
X1=0（舍去），X2=4
代入X=4，Y=-5
因此P1（4，-5）
或（2）直线PC与BD的交点M与B、C组成的三角形满足BM=CM即可
M为BD上的点，因此设M（X，-2X+6）
BM²=（X-3）²+（-2X+6）²=X²-6X+9+4X²-24X+36=5X²-30X+45
CM²=X²+（-2X+6-3）²=X²+4X²-12X+9=5X²-12X+9
所以5X²-30X+45=5X²-12X+9
18X=36，X=2
将X=2代入Y=-2X+6
Y=2
因此M（2，2）
设直线CM解析式为Y=KX+B，代入C、M坐标
B=3①
2K+B=2②
K=-1/2
所以Y=-X/2+3
联立：-X/2+3=-X²+2X+3
X²-5X/2=0
X1=0（舍去），X2=5/2
将X=5/2代入，Y=7/4
因此P2（5/2，7/4）

Answer 2

存在

简单的一B，初等数学就可以了，我还以为要高等数学那，我没画图，抽象一看就知道PCB和CBD正好成平行四边形的对角一半且相等（按照题目给定的PCB=CBD条件），而对角线就是BC--》若该点存在，PC//BD--》容易求出B，D点坐标--》BD线段方程求出来（两点求方程不用说了吧？）--》知道PC//BD，BD方程出来了，又容易求出C点坐标--》与抛物线方程联立--》P点坐标