Question

已知f（x）是定义在R上的不恒等于零的函数，且对于任意的a∈R，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a

已知f（x）是定义在R上的不恒等于零的函数，且对于任意的a∈R，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）。求：①f（0）、f（1）的值；②判断f（x）奇偶性，并证明结论。

Answer 1

(1)因为f（ab）=af（b）+bf（a）令a=1 且b≠0,得f(b)=f(b)+bf(1),f(1)=0令a=0 且b≠1,得f(0)= bf(0),f(0)=0 (2) f(x)是奇函数证明:令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0所以f(-1)=0所以对任意a∈R,令b=-1,恒有f(-a)=-f(a)+af(-1)=-f(a)所以f(x)是奇函数