Question

已知F1、F2、是椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点，O为坐标原点，点P（-1，二分之根号2）

已知F1、F2、是椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点，O为坐标原点，点P（-1，二分之根号2）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足向量PM+向量F2M=0向量。1求椭圆的标准方程2.圆O是以F1F2为直径的圆，直线y=kx+m与圆O相切，并与椭圆相交不同的两点AB, 向量OA.向量OB=λ且满足2/3=<λ <=3/4 ,求△AOB面积s的取值范围

Answer 1

1、由题意可知，c=1,则a2-b2=1因为P在椭圆上
因此1/a2+1/2b2=1解得a2=2，b2=1
因此椭圆方程为x2/2+y2=1
2、圆O方程为x2+y2=1,
由题意可知原点到y=kx+m距离为1，求得m2=k2+1(1式)
向量OA.向量OB
=xAxB+yAyB=(k2+1)xAxB+km(xA+xB)+m2
联立直线方程与椭圆方程得
（2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0
因此xAxB=(2m2-2)/(2k2+1)(2式)
xA+xB=-4km/(2k2+1)(3式)
将1式，2式，3式带入向量乘积得

λ=(k2+1)/(2k2+1)
由于2/3=<λ <=3/4

因此1/2=<k2=<1
AB=根号下[(yA-yB)2+(xA-xB)2]=根号下[(k2+1)(xA-xB)2]
xA-xB=根号下[16k2m2-4(2m2-2)(2k2+1)]/(2k2+1)=(根号下8k2)/(2k2+1)
因此AB=根号下[2-2/(2k2+1)2]
因此√6/2=<AB=<4/3
S=AB/2
因此√6/4=<S=<2/3

以上

Answer 2