Question

函数f(x)=(ax+b)/(x²+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5,其中a,b属于R

(1)求a，b的值
（2）证明函数f(x)在（-1，1）上为增函数
（3）解关于x的不等式f(x-1)+f(x)＜0

Answer 1

函数f(x)=(ax+b)/(x²+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5,其中a,b属于R
(1)求a，b的值
f(-x)=-f(x)
-ax+b=-(ax+b)
b=0
f(x)=ax/(x²+1)
f(1/2)=2a/5=2/5
a=1
（2）证明函数f(x)在（-1，1）上为增函数
f(x)=x/(x²+1)
-1<x1<x2<0，有
f(x1)-f(x2)=x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)=（x1-x2）（1-x1x2）/[(x1²+1)(x2²+1)]<0
函数f(x)在（-1，0）上为增函数
0<x1<x2<1，有
f(x1)-f(x2)=x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)=（x1-x2）（1-x1x2）/[(x1²+1)(x2²+1)]<0
函数f(x)在（0，1）上为增函数
所以函数f(x)在（-1，1）上为增函数
（3）解关于x的不等式f(x-1)+f(x)＜0
f(x-1)=（x-1）/[(x-1）²+1]
f(x-1)+f(x)=（x-1）/[(x-1）²+1]+x/(x²+1)=（-3x²+3x/[(x-1）²+1)(x²+1)]<