Question

在三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.且acosC,bcosB,ccosA.成等差数列b=根号3,试求△abc的周长L的范围

Answer 1

acosC,bcosB,ccosA.成等差数列
∴2bcosB=acosC+ccosA
根据正弦定理兄做：
2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB
∵B是三角形内角
sinB>0,sinB约掉
∴2cosB=1,cosB=1/2
∴B=60º嫌旁
∵b=√3，根据余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
∴a²羡者衡+c²=3+ac
∵a²+c²≥2ac ,∴3+ac≥2ac
∴ac≤3

∴(a+c)²=a²+c²+2ac=3+3ac≤12
∴a+c≤2√3
又a+c>b=√3
∴√3<a+c≤2√3
∴2√3<a+b+c≤3√3
即△ABC的周长L的范围是(2√3,3√3]

追问

∴(a+c)²=a²+c²+2ac=3+3ac≤12?

追答

a²+c²=3+ac
==>
(a+c)²=a²+c²+2ac=3+3ac

Answer 2

acosC+ccosA=2bcosB
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
sin(A+C)=2sinBcosB
sinB=2sinBcosB
cosB=1/2 B=60 A+C=180-60=120
a/sinA=b/sinB a=2*sinA c=2*sinC
a+c+b=2(sinA+sinC)+√3
=2[sinA+sin(120-A)]+√3
= 2(sinA+√3/2cosA+1/2sinA)+√3
=2√3(√3/2*sinA+1/2*cosA)+√3
=2√3sin(A+30)+√3 0<A<120 30<A+30<150
1/2 <sin(A+30)≤1
2√3<a+b+c≤3√告友3
即轮漏 2√腊友烂3<L≤3√3