Question

设e1,e2是两个单位向量,向量a=ke1+e2,b=e1-ke2 （1）若|a|=根号3|b|,

Answer 1

(1)因e1e2夹角为60°，所以可以把e2分解成平行于e1与垂直于e1两个方向的分量，其中平行于e1的分量为e1/2，垂直于e1方向的分量大小为√3/2，设此方向的单位向量为f，e2=e1/2+√3/2f，则：
a=ke1+e2=ke1+e1/2+√3/2f=(k+1/2)e1+√3/2f，
b=e1-ke2=e1-k(e1/2+√3/2f)=(1-k/2)e1-√3/2kf
|a|=√3k|b|，即：(k+1/2)²+(√3/2)²=3((1-k/2)²+(-√3/2k)²)
解得：k=1
(2)若a与b垂直，则a·b=((k+1/2)e1+√3/2f)·((1-k/2)e1-√3/2kf)
=(k+1/2)(1-k/2)+(√3/2)(-√3/2k)=0
k=1±√2