Question

如图，正方形ABCD中，E,F分别为边BC、DC上的点，且BE=FD，连接AE，过点F作FH⊥AE

，交AB于点G，过点C作CM⊥FG,CN⊥AE,垂足为M、N，并作CK=CF,交AE的延长线与点K，连接CH，求证EH+FH=√2CH。

Answer 1

证明：因为四边形ABCD是正方形
所以AB=BC
角DCE=角FCM+角MCE=90度
因为DC=FD+CF
BC=BE+CE
BE=FD
所以CF=CE
因为CM垂直FG于M
所以角CMF=角CMH=90度
因为CN垂直AE于E
所以角CNK=角CNE=90度
因为FH垂直AE于H
所以角MHN=90度
因为角CMH+角MHN+角CNE+角MCN=360度
所以角MCN=角MCE+角NCE=90度
所以角MCE=角NCE
角CMF=角CNE=90度
所以三角形MCF和三角形NCE全等（AAS)
所以CM=CN
MF=EN
角MHN=角CNE=角MCN=角CMH=90度
所以四边形CMHN是矩形
所以四边形CMHN是正方形
所以MH=NH=CH
在直角三角形CNH中，角CNE =90度
由勾股定理得：
CH^2=CN^2+NH^2
所以CH=根号2NH
所以根号2CH=2NH
因为CK=CF
所以CE=CK
所以三角形CEK是等腰三角形
所以CN是等腰三角形CEK的垂线，中线
所以EN=KN
所以MF=EN=KN
因为FH=MF+MH=EN+NH
因为EH=NH-EN
所以FH+EH=2NH
所以FH+EH=根号2CH