Question

an＝2ⁿ＋1，若bn＝n／[a﹙n＋1﹚－an]，Tn是bn的前n项和，证明Tn＜2

Answer 1

Bn=n/[2ⁿ+1＋1-2ⁿ-1]=n/
2ⁿ
Tn=1/2+2/2^2+......n/2ⁿ
1/2Tn=1/2^2+2/2^3+...+n/2^n=1两式相减得到
1/2Tn=1/2+1/2^2+1/2^3+.....+1/2^n-n/2^n+1
根据等差数列公式得到
Tn=2-1/2^n-1-n/2^n所以Tn<2

Answer 2

Bn是一个等差数列和等比数列积的形式，可以用错位相减法算出Tn。然后证明一个不等式就可以了。