Question

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=4，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D。

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=4，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D。
（1）求点E的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上是否存在点P，使得△POB的面积与△AOB的面积相等？若存在，求出点P得坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）解：连接AE，过点A作AF垂直OB于F
所以角AFO=90度
因为CD是AB的垂直平分线
所以AC=BC=1/2AB
角BCE=90度
AE=BE
所以角B=角EAB
因为角ABO+角A+角AOB=180度
角A=90度
角ABO=30度
所以角AOB=60度
角EAB=30度
角OAF=180-角AOB-角AFO=180-90-60=30度
所以OF=1/2OA
角OAE=角A-角EAB=90-30=60度
所以角OAE=角AOB=60度
因为角OAE+角AOB+角AEO=180度
所以角AEO=60度
所以角AEO=角AOB=角OAE=60度
所以三角形OAE是等边三角形
所以OA=AE=OE=BE=1/2OB
因为OB=4
所以OA=OE=2
OF=1
AF=根号3
所以点E(2， 0)
(2)解：因为角BCE=90度
角ABO=30度
角BCE+角ABO+角BEC=180度
所以角BEC=60度
因为角BEC=角OED
所以角OED=60度
因为角OED+角ODE+角DOE=180度
角DOE=90度
所以角ODE=30度
所以OE=1/2DE
DE^2=OD^2+OE^2
所以DE=4
所以OD=2倍根号3
所以D(0， 2倍根号3）
因为点E(2，0) (已证）
设直线CD的解析式为：y=kx+b,把点E(2, 0) D(0, 2倍根号3）代人y=kx+b并解得：
k=-根号3
b=2倍根号3
所以直线CD的解析式是：y=-根号3x+2倍根号3
（3）直线CD上存在点P，使得三角形POB的面积和三角形AOB的面积相等
解：过点P作PM垂直OB于M
所以S三角形POB=1/2OB*PM
因为AF=根号3, AF是三角形AOB的高
所以S三角形AOB=1/2OB*AF
因为S三角形POB=S三角形AOB
所以AF=PM=根号3
BM=3
OM=OB-BM=4-3=1
所以点P(1， 根号3）

Answer 2

2)解：因为角BCE=90度角ABO=30度角BCE+角ABO+角BEC=180度所以角BEC=60度因为角BEC=角OED所以角OED=60度因为角OED+角ODE+角DOE=180度角DOE=90度所以角ODE=30度所以OE=1/2DEDE^2=OD^2+OE^2所以DE=4所以OD=2倍根号3所以D(0， 2倍根号3）因为点E(2，0) (已证）设直线CD的解析式为：y=kx+b,把点E(2, 0) D(0, 2倍根号3）代人y=kx+b并解得：k=-根号3b=2倍根号3所以直线CD的解析式是：y=-根号3x+2倍根号3

Answer 3

1 ,E(2,0), 2, y=-根号3*(x-2), 3,有，P(1,根号3)