Question

若三角形ABC的面积和外接圆的半径都是1,则SinASinBsinC＝？

Answer 1

利用正弦定理sinAsinBsinC=8/(a+b+c)^2=abc/8
可以得到三边之积abc=4
sinAsinBsinC=8/4^2=1/2

下面是正弦定理的证明

步骤1.
在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
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