Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立。

若λ=1，求数列的通项公式。
求λ的值，使数列an为等差数列。

Answer 1

（1）若λ=1，则（S（n+1）+λ）an=（Sn+1）a（n+1）两边除以ana（n+1）得
S（n+1）/a（n+1）+1/a（n+1）=Sn/an+1/an
∴Sn/an+1/an，是常数列。Sn/an+1/an=2
解得，Sn=2an-1，∴an=2^（n-1）
（2）a1=1，
n=1代入已知，得a2=1+λ
n=2代入已知，得a3=（1+λ）²
由an是等差数列。∴2a2=a1+a3，得λ=0
而当λ=0时，S（n+1）/a（n+1）=Sn/an+1/an
可以用归纳法证明an=1。
（I）当n=1时，a1=1满足题意
（II）假设an前k项为1，则由S（k+1）/a（k+1）=Sk/ak+1/ak，得
[ k+a（k+1）]/a（k+1）=k/1+1/1=k+1
所以a（k+1）=1，所以an前k+1项为1.
有归纳假设得，an=1
综上，当an为等差数列时，需λ=0，
当λ=0，an确实为等差数列，an=1
所以，使数列an为等差数列的λ的值为0.