Question

已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数，又是减函数。证明:

Answer 1

证明：
x2∈[-1,1]，则-x2∈[-1,1]
f(x)是奇函数，则f(x2)=-f(-x2)
不放设x1＞-x2，则
x1-(-x2)＞0，即x1+x2＞0
f(x)是减函数，则
f(x1)-f(-x2)＜0
即f(x1)+f(x2)＜0
∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0
当等号成立时，f(x1)+f(x2)=0，且x1+x2≠0
f(x1)=-f(x2)
f(x1)=f(-x2)
由于函数是单调的，所以x1=-x2
此时x1+x2=0，矛盾
所以等号不可能成立
也就是说：
对任意x1，x2∈[-1,1],有
成立，
可是这时也可以说证明：
x2∈[-1,1]，则-x2∈[-1,1]
f(x)是奇函数，则f(x2)=-f(-x2)
不放设x1＞-x2，则
x1-(-x2)＞0，即x1+x2＞0
f(x)是减函数，则
f(x1)-f(-x2)＜0
即f(x1)+f(x2)＜0
∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0
当等号成立时，f(x1)+f(x2)=0，且x1+x2≠0
f(x1)=-f(x2)
f(x1)=f(-x2)
由于函数是单调的，所以x1=-x2
此时x1+x2=0，矛盾
所以等号不可能成立
也就是说：
对任意x1，x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0恒成立
得证
谢谢
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