Question

如图,在ABC中,角C=90°，AC=4，BC=3，PQ平行AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。

试问：在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ的长（有三种答案，详解加分）

Answer 1

从图就可以看出M肯定存在，只要PQ不断接近AB，M就一定能碰到AB，那么此时PQ是多少呢。
第一种情况，M是等腰直角三角形的顶点，那么从M作垂直于PQ的高MN，MN与PQ的关系是MN=1/2PQ。另作CD垂直于AB交PQ于F，可得到PQ：AB=CF：CD，AB和CD的关系很明显吧，5和12/5，那么PQ：CF也是5:12/5 而CF+MN其实就等于CD也就是12/5，CF=12/5-0.5PQ
那么就得到 PQ=120/49
第二种情况和第三种情况是一样的，也就是M作为PQM的一个底角，即PM或QM垂直于AB，此时PM（或QM）=PQ。
那么也就是PQ：CF=5:12/5，同时CF+PQ=12/5 很明显，PQ=60/37

Answer 2

确实是有三个，设PQ和AB间距离为d，当d=PQ的时候，有两个等腰直角三角形。
风别过P、Q点作AB的垂线，垂足为M。
易知两个三角形相似，设PQ/AB=t,可得
PQ=5t=12/5*(1-t)=d
得到PQ=60/37
当d=PQ/2时，作PQ的中垂线，交AB于M点。
PQ=5t=12/5*(1-t)*2=d
同理可得PQ=120/49

Answer 3

三种情况，分别是直角在P、Q、M点
1、当P为直角时，过P向AB做垂线交AB于M点。求PQ=PM即可。设PQ为x，则PM=PQ=x，过C向PQ做垂线交于E，则CE=2.4-x， PC=0.8x，QC=0.6X。PC乘以QC=PQ乘以CE，可求得x
2、当Q为直角时，和P为直角求解相似，略去
3、当M为直角时，要求MP=MQ。设PQ=x，则MP=MQ=(√2/2)x。过P向AB做垂线交AB于D点，则PD=0.5x，所以过C向PQ做垂线交于E，则CE=(2.4-0.5)x=1.9x，PC=0.8x，QC=0.6X。PC乘以QC=PQ乘以CE，可求得x