Question

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四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD ，E为PC的中点，求证，平面PAC垂直平面PBD

Answer 1

连接AD,因为,PA垂直平面ABCD,AD属于平面ABCD,所以BD垂直于PA;

因为ABCD为矩形,BD垂直于AC,AC属于平面PAC,所以BD垂直于AC

所以BD垂直于平面PAC

(2)因为AC垂直于BD,相交于O,AC属于平面PAC,BD属于平面BDE;

PC垂直平面BDE,BE垂直AC,

所以平面PACE垂直于平面BDE,且相交于OE,OE垂直于AC,OE属于平面PAC

BE垂直AC.BE属于平面PBC,AC是平面PAC与平面PBC的交线,

所以,角BEO是二面角A-PC-B的面角

因为PA垂直AC,EO垂直AC,OC=1/2AC=1/2,BO=1/2BD=√2

所以面角B-PC-A的正切值canﮮBEO=BO/EO=√2/(1/2)=2√