Question

等边三角形ABC内有一点P，点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5，求角APB的度数。

Answer 1

解：将△ABP绕点A逆时针旋转60°，到ΔACP‘。

CP'=BP=4，AP=AP'=3，∠PAP'=60。

∴△APP'是等边三角形。

∴∠AP'P=60°，且PP'=3。

在△CPP'中，CP'^2=25，CP^2+PP'^2=25。

∴∠P'PC是直角三角形，∠PP’C=90°。

∴∠APB=∠AP'C=60°+90°=150°。

三角形角的性质：

1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

Answer 2

∠APB=150°
解：将ΔCPB绕着B点顺时针旋转60°，使点C与点A重合，得到ΔADB，连接PD
则ΔCPD≌ΔADB
∴AD=PC＝5 BD＝PB＝4
∵∠PBD＝60°
∴ΔPDB是正三角形，
∴PD=4 ∠DPB＝60°
在ΔPAD中，AP=3 PD＝4 AD＝5
∴∠APD＝90°
∴∠APB＝90°+60°＝150°
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Answer 3

解:将△ABP绕点A逆时针旋转60°，到ΔACP‘，
CP'=BP=4，AP=AP'=3，∠PAP'=60，∴△APP'是等边三角形，
∴∠AP'P=60°，且PP'=3，
在△CPP'中，CP'^2=25，CP^2+PP'^2=25，
∴∠P'PC是直角三角形，∠PP’C=90°，
∴∠APB=∠AP'C=60°+90°=150°。