Question

求（n!)^(1/n)/n，n趋于无穷时的极限

Answer 1

正无穷大

先取对数，然后比较分子和分母的大小关系，用不等式关系得到分子ln(n!)远大于n，所以分子比分母大的话，比值差距也越来越大，最终结果会趋向无穷大。

解题过程

y=(n/(n+1))^n

lny=nln=ln/(1/n)

0/0型，用洛比达法则

n/(n+1)=1-1//(n+1)

所以分子求导＝1/*'=(n+1)/n*1/(n+1)^2=1/

分母求导＝－1/n^2

所以是－n/(n+1),极限是－1

即lny极限是－1

所以原来极限＝e^-1=1/e

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

解：
n！=n(n-1)(n-2)…………1
n^n=n·n·n·n·n·n·n·n………………n
极限：
两者相除
写成：(n/n)(n-1/n)(n-2/n)…………(1/n)
n趋近于无穷大：(n/n)、(n-1/n)、(n-2/n)…………趋近于1
(1/n)趋近于0
最后的乘积
趋近于0
不懂再问我

Answer 4

这个问题比较难，可分为三个步骤来完成：
1、设xn=[n!^(1/n)]/n,则
㏑xn=㏑{[n!^(1/n)]/n}
=(1/n)㏑[n!/n^n]
=(1/n)[㏑1/n+㏑2/n+…+㏑n/n]
=(1/n)∑(k=1,n)㏑k/n(可以理解为积分和)
2、转化为定积分：
=∫(0,1)lnxdx
=[xlnx-x](0,1)
3、求无穷积分值：
=-1-lim(x→0)[xlnx-x]
=-1-lim(x→0)lnx/(1/x)
=-1-lim(x→0)(1/x)/(-1/x^2)
=-1-lim(x→0)(-x)
=-1；
所以：lim(n→∞)㏑xn=-1
lim(n→∞)xn=1/e。