Question

5 已知函数f(x)=x^2+lnx-ax (1) 当a=3时，求f(x)的单调增区 间(2) 若

在（0,1）上是增函数，求a的取值范围。

Answer 1

f(x)=x^2+lnx-ax 定义域(0,+∞)
(1) 当a=3时，f(x)=x²+lnx-3x
f'(x)=2x+1/x-3=(2x²-3x+1)/x
=(x-1)(2x-1)/x
由 f'(x)>0即(x-1)(2x-1)>0结合定义域
解得0<x<1/2或x>1
∴f(x)的单调增区 间为(0,1/2),(1,+∞)
(2)
f'(x)=2x+1/x-a
∵f(x)在（0,1）上是增函数
∴f'(x)≥0即2x+1/x-a≥0恒成立
即a≤2x+1/x
设g(x)=2x+1/x,(0<x<1)
需a≤g(x)min
g'(x)=2-1/x²=(2x²-1)/x²=2(x+√2/2)(x-√2/2)/x²
∴0<x<√2/2时，g'(x)<0,g(x)递减
√2/2<x<1时，g'(x)>0,g(x)递增
∴g(x)min=g(√2/2)=2√2
∴a≤2√2