Question

设数列Xn有界，又limYn=0 证明limXnYn=0

Answer 1

证明：

∵数列{Xn}有界，因此：∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N）。

∴|Xn|≤ M成立

又∵lim(n→∞) Yn = 0

∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：|Yn- 0| < ε'成立。

即：|Yn|< ε'

显然：|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}。

令ε=ε'M，则：∀ ε>0

|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立。

∴必有：lim(n→∞) XnYn =0

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

数列Xn有界,即!Xn!<=M恒成立.
limYn=0,即对任意E>0,总有N>0使得当n>N时!Yn-0!<E恒成立.
而!Xn!*!Yn-0!=!XnYn-0!
所以对任意ME>0,总有N>0使得当n>N时!XnYn-0!<ME恒成立.
所以limXnYn=0