Question

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Answer 1

一。求不定积分
1。∫[(√x)+2/√(1-x²)]dx
解：原式=∫[(√x)dx+∫[2/√(1-x²)]dx=(2/3)x^(3/2)+2arcsinx+C
2。∫[(ln²x)/x]dx
解：原式=∫(ln²x)d(lnx)=(1/3)ln³x+C
3。∫x²dx/(1+x²)
解：原式=∫[1-1/(1+x²)]dx=x-arctanx+C
4。∫[e^(√x)]dx
解：令√x=u，则x=u²，dx=2udu，故
原式=2∫u(e^u)du=2∫ud(e^u)=2[ue^u-∫(e^u)du]=2(ue^u-e^u)+C=2[(√x)-1]e^(√x)+C
二。求定积分
1。【0，1】∫xe^(x²)dx
解：原式=【0，1】(1/2)∫d[e^(x²)]=[(1/2)e^(x²)]【0，1】=(1/2)(e-1)
2。【0，1】∫dx/(1+√x)
解：令√x=u，则x=u²；dx=2udu；x=0时u=0，x=1时u=1，故
原式=【0，1】2∫udu/(1+u)=【0，1】2∫[1-1/(1+u)]du=2[u-ln(1+u)]【0，1】=2(1-ln2)
3。【-1，1】∫[x/(1+x⁴)+√(1-x²)]dx
解：原式=【-1，1】∫[x/(1+x⁴)]dx+【-1，1】∫√(1-x²)dx=【-1，1】∫√(1-x²)dx
其中第一个积分的被积函数是奇函数，其在对称区间上的积分为0.
第二个积分：令x=sinu，则dx=cosudu；x=-1时u=-π/2；x=1时u=π/2，故
原式=【-π/2，π/2】∫cos²udu=【-π/2，π/2】(1/2)∫(1+cos2u)du
=(1/2)[u+(1/2)sin2u]【-π/2，π/2】=(1/2)[π/2+π/2]=π/2
4。【0，2】∫∣x-1∣dx
解：原式=【0，1】∫(1-x)dx+【1，2】∫(x-1)dx=(x-x²/2)【0，1】+(x²/2-x)【1，2】
=(1-1/2)+(-1/2+1)=1/2+1/2=1

Answer 2

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