Question

如何区分“带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式”和“带有拉格朗日余型的麦克劳林公式”

Answer 1

这个题目的意思是：把要展开的函数
f（x）=
sin
x
的各阶导数代进去。

因为
x
=
0
的导数是循环出现的，所以原公式中的奇数项都是“0”。题目中的“x”那一项，其实是原公式中的第二项“f'（0）x”

换句话说，所有原公式的奇数项都是“0”，4k+2项的系数都是正的，4k项的系数都是负的。

因为分母是从“0！”开始的，所以分母是“（2m-1）！”的那一项（即：除了余项外的最后一项），其实是原公式的第2m项，即第n项。

它是一个偶数项，那么就要区分它的正负。

如果m是个奇数，第2m属于4k+2项，系数应该是正的；

如果m是个偶数，第2m属于4k项，应该是负的。

说道这里，你应该明白了：

若m是奇数，为了取系数为正，应该是-1的偶次方，所以应该是m-1次方（当然，m+1次方等等也可以）

若m是偶数，为了取系数为负，应该是-1的奇次方，同样应该是m-1次方（当然，m+1次方等等也可以）

总结：要具体看是第几项，而不用看系数的方次的表达形式。

Answer 2

俩者都是在泰勒中值定理基础上变换的，佩亚偌型是把R(×)变成一个无穷小形式，而拉格朗日型则是令×(0)=0后得出的公式。
　　麦克劳林公式
是泰勒公式（在
,记ξ
）的一种特殊形式。
　　若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
　　

　　其中Rn是公式的余项，可以是如下：