Question

求曲线方程的一般步骤是什么？

Answer 1

现在新课标都教矩阵了吧，请允许我用相关知识解释一下。圆锥曲线是二次曲线，教材上的圆锥曲线方程，只是标准方程。
二次曲线的一般方程是：ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0
这个方程表示什么呢？——表示所有的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线、点、双直线图形和无轨迹。这些图形可以是任意平移旋转过的。
如果给定方程ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0，要判断曲线类型，这时候直接看是不容易看出来的，就需要做一些处理。
（1）先考虑退化的曲线——双直线和点，当且仅当行列式det3=
|a
c/2
d/2|
|c/2
b
e/2
|
=
0
时,
|d/2
e/2
f
|
二次曲线是退化的。这时，如果det2=ab-c^2/4=0则是椭圆退化成了一点；如果不等于0，就是直线。
如果是直线，先把a化成正的，
①平行或重合直线，由(ax+by+c)(ax+by+d)=0展开对比得，ab是同号的。
当d/e=√(a/b)或者是d√b=e√a，且c=2√(ab)时，两直线斜率一样，此时，若2f=d/√a或2f=e/√b，则重合，否则平行。如果要求直线，则a=√a，b=√b，c+d=d/√a=e/√b，cd=f
②相交直线，不符合①的双直线就是相交直线，如果a=-b，则分解因式验证其是否垂直。
（2）对于非退化的二次曲线，det3≠0，这时看
det2=
|a
c/2|
|c/2
b
|
即det2=ab-c^2/4
det2>0，椭圆，如果a=b则是圆；如果det1=a+b>0（先把a化成正的）、且det3>0，则是无轨迹的图形(不算退化)。
det2<0，双曲线；
det2=0，抛物线。
----------------------
再说一下退化，对于标准形式，
椭圆左右各除以无穷大，就有x^2/a^2+y^2/b^2=0，就退化成了一点。
双曲线退化，x^2/a^2-y^2/b^2=0，退化为相交双直线，也就是她的渐近线。
抛物线退化，y^2=a，退化成了平行或重合的双直线。
三种曲线和他们的退化形式，经过旋转和平移，上文det1、det2、det3的符号特征是不变的，所以可以这样判断，这三个值，称为二次曲线的不变量。