Question

数学 同济大学 线性代数问题

在123页定理4 说了矩阵对角化的充分必要条件 而在下一节 有说 这是一份复杂的问题 这是什么意思！！

Answer 1

"一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化？"，上节的定理4是给出了一个充要条件，但该充要条件是最简单的一个，实际上还有很多其他的条件（即后面所说的“一般性的讨论”），研究起来比这个条件复杂很多，所以课本上认为比较复杂。
接下来，将这个问题约束在对称矩阵（实际上同济大学《线性代数》说的是实数范围内的对称矩阵）的小范围讨论这个问题。从这里展开第四节“对称矩阵的对角化”的内容。
"一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化？"在一般的非数学专业《线性代数》课程中并不讨论，但在数学专业一般都要讨论，如果想要了解，可以参考现在流行的一些数学专业课本：
北大，第三版或第四版《高等代数》
丘维声《高等代数》
复旦大学，姚慕生，《高等代数》第三版
张贤科《高等代数学》

比如丘维声《高等代数》上册5.6节对应"一个n阶矩阵具备什么条件才能对角化？"的研究，5.7节对应实对称矩阵对角化（即同济第五章第四节）的研究。

Answer 2

定理4只是给出了一个判断矩阵可以相似对角化的一个方法，满足这个条件就可以相似对角化
至于有多少种方法；或者说满足哪些条件可以相似对角化是非常难处理的问题，难以简单的说明

追问

那就是满足定理4的条件就能对角化了啊

后面又说什么 满足什么条件是很复杂 这不是自相矛盾吗

追答

上面不是说了吗，定理4只是一种，满足对角化的条件的方法很多，完全讨论出来很难，定理4只是从线性代数的角度给出了一种方法尔！

追问

就是还有很多个对角化充分毕业条件？

追答

很多呀，线性代数常用的也好几种吧，
什么不同特征值，相同的看秩，什么对称不对称等等吧
到了矩阵分析还会再讲一些