Question

增根是什么？

什么是增根？可以举几个例子吗？

Answer 1

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。
http://baike.baidu.com/view/793528.htm
例如：解出一个一元方程有X1=-1 X2=0 X3=1
但是题目要求X>0
那么X1 X2就是增根

还有将求出的值代入原方程,分式化整式后解出来分母是0 ,那这个根就是增根.

Answer 2

增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。

1、来源

对于分母的值为零时，这个分数无意义，所以不允许分母为0，即本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

2、解法

编解分式方程时出现增根或失根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x-2=0的两边都乘x，变形成x(x－2)=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

3、增根的不可忽视性

许多人解方程时，得到了增根，比如说能量是负值，一般的人都会将这个忽视掉，但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关，即E^2=p^2+m^2（p为动量，m为粒子的质量），解得E=±（p^2+m^2）^(1/2),你肯定想保留正根，因为你知道能量不会是负值，但数学家们告诉狄拉克，你不能忽略负值，因为数学告诉我有两个根，你不能随便丢掉。

Answer 3

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。

Answer 4

1定义：在
方程变形时
，
有时
可能
产生
不适合
原方程的
根
，这种根叫做原方程的
增根
。
　　2产生增根的来源：
　　（1）分式方程
　　（2）无理方程
　　3分式方程增根介绍：
　　在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的
根
使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的
增根
。
　　增根的产生的原因：
　　对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
　　举一个实例
　　X-2
16
X+2
　　——
-
——
=
——
　　X+2
X^2-4
X-2
　　解:
(X-2)^2-16=(X+2)^2
　　X^2-4X+4-16=X^2+4X+4
　　X^2-4X-X^2-4X=4+16-4
　　-8X=16
　　X=-2
　　但是X=-2使X+2和X^2-4等于0,所以X=-2是增根
　　分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。为了在解方程时排除增根，解完整式方程后，要检验。通常是把整式方程的解代入最简公分母中，若最简公分母的值不为0，则此解是分时方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。
　　例如:
设方程
A(x)=0
是由方程
B(x)=0
变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果
x=a
是方程
A(x)=0
的根但不是B(x)=0
的根,称
x=a
是方程的增根;如果x=b
是方程B(x)=0
的根但不是A(x)=0
的根,称x=b
是方程B(x)=0
的失根.
　　
如何求增根
　　
解分式方程时什么情况下会产生增根
　　学生在解一个方程时，如果出现了增根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。
　　1.
如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，新方程就比原方程多出一个根x=0．这是因为在方程两边都乘了一个x，这相当于用0乘以原方程的两边（0适合于新方程），而这是违反同解原理的。
　　2.
解分式方程时，去分母不一定会出现增根。在将一个分式方程变形时，往往先将它化为整式方程，于是在分式方程的两边都乘以各分母的最低公倍式，这样可能不违反同解原理，也可能违反同解原理，如将方程两边都乘以x，变形成x－2=1，新方程有一个根x=3，它也是原方程的根。x=3不是原方程的增根，这是因为在方程两边乘的x，是一个相当于3的非零数，这样做没有违反同解原理。
　　判别增根，只要通过把新方程的根代入去分母时在原方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

Answer 5

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
增根的产生是因为在解方程时,我们对原方程的某些变形,如乘以未知数或乘方可能会扩大方程中未知数的取值范围,而如果变形后的方程未知数的取值范围比原方程大,就会得出一些变形后方程的根不是原方程的根,这样增根就产生了.
用函数理论来说,对于y=f(X),有一变形y=g(X),而函数y=f(X)的定义域被y=g(X)包含,那么y=f(X)与X轴交点个数就比y=g(X)少.
对于分式方程,如果化整式方程后的某些根使原方程中某个分母为零,那么这些根是分式方程增根.