Question

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是 BD 的中点，连接AE交BC于点

如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

Answer 1

（1）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
（2）
由（1）得：△ADC∽△BAC
∴AC/BC=CD/AC
即AC^2=BC×CD=36
解得：AC=6
在Rt△ACD中，AD^2=AC^2-CD^2=根号5
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD
∴CA=CF=6
∴DF=CA-CD=2
在Rt△AFD中，AF^2=DF^2+AD^2 =根号6