Question

在等边三角形abc,p为内部一点pa=5.pb=4,pc=3,求三角形abc的边长

Answer 1

∵△ABC是等边三角形
∴BC=AC，∠ACB=60°
将△BCP旋转到BC和AC重合，得△BCP≌△ACE
∴∠BCP=∠ACE，∠BPC=∠AEC，PB=AE=4，EC=PC=3
∴ACP+∠ACE=∠ACP+BCP=∠ACB=60°
即∠PCE=60°，又PC=EC
∴△PCE是等边三角形
∴∠CEP=60°，PE=PC=3
∴PA²=5²=25
AE²+PE²=4²+38=25
那么PA²=AE²+PE²
∴△APE是直角三角形，∠AEP=90°
∴∠BPC=∠AEC+∠AEP+∠CEP=90°+60°=150°
∴余弦定理：BC²=PB²+PC²-2PB×PC×cos150°
=4²+3²-2×4×3×(-√3/2)
=25+12√3
∴BC=√(25+12√3)