Question

已知函数f(x)=xlnx.求函数f(x)的单调区间；

Answer 1

可以这样证明：f''(x)=1/x>0当x>0时，所以f在(0,＋∞）上是上凹的（有些教材凸凹定义可能相反），所以
1）当a≠b时候，
不妨设a<b，于是：
[f(a)＋f(b)]/2
>f[(a+b)/2],从而
[alna+blnb]/2>[(a+b)/2
]×ln[(a+b)/2]，整理得：
alna+blnb>(a+b)ln[(a+b)/2],也就是：f(a)+(a+b)ln2>f(a+b)-f(b）
2）当a＝b时，显而易见取等号，于是由1）2）可得：
f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b)。
df(x)/x=lnx+x*(1/x)=lnx+1
df(x)/x=0
解得x=1/e
当x>1/e时，f（x）>0；x<1/e，f（x）<0。所以x=1/e为极小值点
f(x)的最小值=1/e×ln（1/e）=-1/e