Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)的图像与X轴有两个不同的交点,若 f(c)=0 且0<x<c

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a>0)的图像与X轴有两个不同的交点,若 f(c)=0 且0<x<c f(x)>0
证明 1/a是f（x）=0的一个根
证明1/a>c

Answer 1

（1）因为f(c)=0,则有： ac²+bc+c=0,
由题意知：c≠0,对上述式子两边同时除以c得： ac+b+1=0
则 c=-(b+1)/a
所以 f(x)=ax²+bx-(b+1)/a
故 f(1/a)=1/a+b/a-(b+1)/a=0,即 1/a 是f(x)=0 的一个根。
（2）由题意知， x=1/a与x=c是方程ax²+bx-(b+1)/a=0的两个根
由于0<x<c时，f(x)>0,且f(c)=0,则f(x)在0<x<c上单调递减，
又a>0,由二次函数图象知： 1/a>c

Answer 2

∵ x1=c 是方程的根，∴ c*x2=c/a，x2=1/a，即 1/a 也是方程的一个根；
∵ 0<x<c，f(x)>0，∴ f(x)=0 的根 x1、x2≥c，故 1/a≥c；
因为 f(x) 的图像与 x 轴两个交点不同，所以 1/a>c；