Question

已知数列{an}的前n项和为sn，首项a1=-2/3，且满足sn+1/sn+2=an（n大于等于2

Answer 1

s(n+1)=3sn+2n
s(n+1)-sn=2sn+2n
a(n+1)=2sn+2n
an=2s(n-1)+2(n-1)
(n>=2)
相减得:
a(n+1)-an=2an+2
(n>=2)
a(n+1)=3an+2
(n>=2)
a(n+1)+1=3[an+1]
(n>=2)
从第三项开始,{an+1}是等比关系,后一项等于前一项的3倍.
s(n+1)=3sn+2n
中,令n=1
s2=3s1+2=11
a2=s2-a1=8
a1+1=4,a2+1=9
a2+1不是a1+1的3倍.
{an+1}不是等比数列.
n>=2时,an+1=(a2+1)*3^(n-2)=9*3^(n-2)=3^n
an=
3
(n=1)
an=
3^n-1
(n>=2)
(用大括号括起来.)

Answer 2

S1=a1=-(2/3),
S2+1/S2+2=a2,
因S2=(a1+a2),所S2+1/S2+2=S2-a1=S2+2/3,解得S2=-(3/4),
同理S3+1/S3+2=a3=S3-S2=S3+3/4,解得S3=-4/5;
S4+1/S4+2=a4=S4-S3=S4+4/5,S4=-5/6.
猜想Sn=-(n+1)/(n+2).
代入2014即可
数学归纳法证明
当n=1时
S1=-(1+1)/(1+2)=-2/3
成立
假设n-1时成立,有
S(n-1)=-n/(n+1)
求n时也成立