Question

求函数y=e^x-1/e^x+1的反函数的定义域。

求函数y=e^x-1/e^x+1的反函数的定义域。

Answer 1

函数y=e^x-1/e^x+1的反函数的定义域就是原函数的值域。

具体回答如下：

设y=（e^x-1）/（e^x+1）

计算如下：

y=（e^x-1）/（e^x+1）

=（e^x+1-2）/（e^x+1）

=1-2/（e^x+1）

可知2/（e^x+1）不等于0，所以y不等于1。

根据函数的图像可以看出：

当x趋近于正无穷大时，2/（e^x+1）趋近于0，此时y有最大值，趋近于1；当x趋近于负无穷大时，2/（e^x+1）趋近于2，此时y有最小值，趋近于-1。

所以函数y=e^x-1/e^x+1的反函数的定义域就是原函数的值域。

反函数的性质：

大部分偶函数不存在反函数，当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；反函数是相互的且具有唯一性。

Answer 2

反函数的定义域就是原函数的值域.
y=(e^x-1)/(e^x+1)
=(e^x+1-2)/(e^x+1)
=1-2/(e^x+1).（1）
从上式观察，2/(e^x+1)不等于0，所以y不等于1.
e^x＞0，不是通过y不等于1来推出的，而是根据函数性质推出的，对于y=e^x为指数函数，其图像是在x轴上方，所以e^x>0.
实际上，本题的结果，从（1）式即可得出：
当x趋近于正无穷大时，2/(e^x+1)趋近于0，此时y有最大值，趋近于1；
当x趋近于负无穷大时，2/(e^x+1)趋近于2，此时y有最小值，趋近于-1.