Question

若不等式1/n+1+1/n+2+....1/2n＞a/24，对一切大于1正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明。

Answer 1

令sn=1/n 1 1/n 2…… 1/3n 1
则s(n 1)=1/(n 2) 1/(n 3) .....1/(3n 4)
s(n 1)-sn=1/(3n 2) 1/(3n 3) 1/(3n 4) - 1/(n 1)
=1/(3n 2) 1/(3n 3) 1/(3n 4)- 1/3(n 1)- 1/3(n 1)- 1/3(n 1)
=[1/(3n 2)-1/(3n 3)]-[1/(3n 3)-1/(3n 4)]
=1/(3n 2)(3n 3) - 1/(3n 3)(3n 4)>0
所以sn的最小值是当n=1时 s1=1/2 1/3 1/4 =13/12
当a/24<13/12即有不等式对所有正整数n都成立
所以a<26 正整数a的最大值为25
欢迎追问!

Answer 2