Question

等价无穷小证明 [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x

Answer 1

im[(1+x)^(1/n)-1]/(x/n)  (分子分母同时求导) =lim[(1/n)*((1+x)^(1/n-1))]/（1/n）  =lim(1+x)^(1/n-1)

因为x趋于0，1+x趋于1

所以(1+x)^(1/n-1)就趋于1  

即[(1+x)^(1/n)-1]与(x/n)  为等价无穷小。

扩展资料：

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

一、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

二、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

参考资料来源：百度百科-等价无穷小

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

im[(1+x)^(1/n)-1]/(x/n)
(分子分母同时求导)
=lim[(1/n)*((1+x)^(1/n-1))]/（1/n）
=lim(1+x)^(1/n-1)
x趋于0，1+x趋于1，(1+x)^(1/n-1)就趋于1
即[(1+x)^(1/n)-1]与(x/n)
为等价无穷小

Answer 4

求极限就可以证明了
取x趋近于0是
两个式子的比值为1那么它们就是等价无穷小
显然用洛必达准则可以证明。。
分子求导就是1/n[(1+x)^(1/n-1)]在x=0时=1/n
分母求导就是1/n
于是比值为1
它们为等价无穷小