Question

已知数列{an} {bn} {cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn,n属于N*

(1)设an=1/3^n,bn=1-3n,求数列{cn}的前n项和Sn
(2)设cn=2n+4,{an}是公差为2的等差数列,若b1=1,求{bn}的通项公式
(3)设cn=3n-25,an=n^2-8n,求正整数k使得对一切n属于N*,均有bn≥bk

Answer 1

c(n)=[a(n+1)-a(n)][b(n+1)-b(n)],
(1) c(n) = -3[1/3^(n+1)-1/3^n] = -3*1/3^(n+1)*[1-3] = 2/3^n,
s(n) = (2/3)[1+1/3 + ... + 1/3^(n-1)] = (2/3)[1-1/3^n]/[1-1/3] = 1-1/3^n

(2) 2n+4 = 2[b(n+1)-b(n)],
b(n+1)-b(n) = n+2,
b(n+1) = b(n) + n+2 = b(n) + [n(n+1)-(n-1)n]/2 + 2[n+1-n],
b(n+1) - n(n+1)/2 - 2(n+1) = b(n) - (n-1)n/2 - 2n,
{b(n)-(n-1)n/2 - 2n}是首项为b(1)-2=-1，的常数数列。
b(n) - (n-1)n/2 -2n = -1,
b(n) = (n-1)n/2 + 2n-1

(3) 3n-25 = [(n+1)^2-n^2-8][b(n+1)-b(n)]=[2n-7-n^2][b(n+1)-b(n)],
n^2 -2n + 7 = (n-1)^2 + 6 >=6 >0.
b(n+1)-b(n) = (3n-25)/[2n-7-n^2] = 3(25/3-n)/[(n-1)^2 + 6],
1<=n<25/3时，b(n+1)-b(n)>0, b(n+1)>b(n),{b(n)}单调递增。1<=n<=9时，b(n)<=b(9).
n>25/3时，b(n+1)-b(n)<0, b(n+1)<b(n), {b(n)}单调递减。n>=9时，b(n)<=b(9)。
综合，有b(n)<=b(9), k=9.

Answer 2

。。感觉向高考题的题型 呵呵 把an和bn带到CN里 发现CN是个等比数列 接下来你该明白了吧。
第二题 因为an是等差数列 所以An+1-An=2（等差数） 则Cn=2n+4=2（Bn+1-Bn） =》N+2=Bn+1-Bn
则有B2-B1=3 ····1
B3-B2=4 ····2
B4-B3=5 ····3
```````
Bn-Bn-1=N+1····n 1+2+3···+n-1 得Bn+1-B1=3+4+5+···+N+1 （后面是等差数列 自己算下）
B1=1带入
然后得Bn=···· 带入N=1看看符不符合 不符合的话 就分段写
第三题还是带进去。。把Bn算出来 Bn应该是二次函数 然后用二次函数求