Question

高中数学平面解析几何

已知A,B是抛物线y²=4x上的两点，N(1,0)，若存在实数λ，使向量AB=λ向量AN,且|AB|=16/3,令A(xa,ya),已知xa>1,y>0,求λ的值

Answer 1

向量AB=λ向量AN→A,B,N三点共线

N(1,0)是抛物线焦点，xa>1
得直线AB存在斜率，设为k,则直线AB方程为y=kx-k
|AB|=16/3即NA+NB=16/3转化为A,B到准线x=-1的距离之和

于是xa+xb+2=16/3→xa+xb=10/3........①
抛物线和直线AB方程联立得：k²x²-(2k²+4)x+k²=0
所以xa·xb=1.........②
由①②解得xa=3,xb=1/3
向量AB=λ向量AN→xb-xa=λ(xn-xa)

-8/3=λ(-2)
所以λ=4/3

追问

谢谢xa·xb不是该等于-(2k²+4)/k²吗？

追答

两根之积=c/a
两根之和=-b/a

Answer 2

追问

谢谢

为什么AB要设成x=ny+1？怎么设出来的啊

追答

直线过y轴上定点（0，b），可设成y=kx+b；直线过x轴上的定点（a,0），可设成x=ny+a.
（其中，n=1/k）
其实两种设法本质相同，只是为了计算上的方便，可以这样灵活一点。也就是说本题的直线方程也可以设成y=k(x-1)，一样可以完成，只是计算稍繁而已。

追问

哦哦。谢谢^_^