Question

用展开泰勒公式证明不等式

设f(x)在[0,1]具有三阶连续导数，且f(0)=1，f(1)=2，f'(1/2)=0。证，在(0,1)内存在ξ1，ξ2使得f'''(ξ1)<=24<=f'''(ξ2).

Answer 1

在1／2处泰勒展开：
f（1） ＝ f（1／2）＋f’（1／2）＊1／2＋f’’（1／2）／2＊（1／2）＾2 ＋f’’’（t）／6＊（1／2）＾3
＝ f（1／2） ＋ f’’（1／2）／8＋f’’’（t）／48，
其中 1／2＜t＜1

类似，有：
f（0）＝ f（1／2） ＋ f’’（1／2）／8－f’’’（s）／48，
其中 0＜s＜1／2

两式向减得：
2－1 ＝ （f’’’（s）＋f’’’（t））／48

f’’’（s）＋f’’’（t）＝ 48

所以 2max｛｜f’’’（s）｜，｜f’’’（t）｜｝＞＝
｜f’’’（s）｜＋｜f’’’（t）｜＞＝f’’’（s）＋f’’’（t）＝ 48
＝＝＞ max｛｜f’’’（s）｜，｜f’’’（t）｜｝＞＝ 24

所以成立
第2种方法：
f(x)=f(1/2)+f'(1/2)(x-1/2)+f''(1/2)(x-1/2)^2/2+f'''(ξ)(x-1/2)^3/6
所以
f(1)=1=f(1/2)+f''(1/2)/8+f'''(ξ1)/48，1/2<ξ1<1
f(0)=0=f(1/2)+f''(1/2)/8-f'''(ξ2)/48，0<ξ2<1/2
两式相减
f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=48
到这儿就很明显了
f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=48
令f'''(ξ1)=24+p
所以f'''(ξ2)=24-p
f'''(ξ1)和f'''(ξ2)中总有一个大于或等于24
所以存在f'''(a)=max{f'''(ξ1),f'''(ξ2)}≥24
所以存在a∈(0,1)，使得|f'''(a)|≥24

追问

非常感谢你！但是只能选择一个满意答案！你的方法很详细！

Answer 2

f(0)=f(1/2)+f'(1/2)(-1/2)+f''(1/2)(-1/2)^2/2!+f'''(a)(-1/2)^3/3! (1)
f(1)=f(1/2)+f'(1/2)(1/2)+f''(1/2)(1/2)^2/2!+f'''(b)(1/2)^3/3! (2)
(1)-(2)得：-1=-f'''(a)/48-f'''(b)/48
f'''(a)+f'''(b)=48，故在(0,1)内存在a，b使得f'''(a)<=24<=f'''(b).