Question

f(x)=(sinx+1)e^x在-1到1区间积分,求1到2上的最大值

Answer 1

I =∫<-1,1>(1+sinx)e^xdx =∫<-1,1>(1+sinx)de^x
=[e^x(1+sinx)]<-1,1> - ∫<-1,1>e^xcosxdx
=[e^x(1+sinx)]<-1,1> - ∫<-1,1>e^xcosxdx
= e(1+sin1)-(1-sin1)/e -2∫<0,1>e^xcosxdx
I1 =∫<0,1>e^xcosxdx =∫<0,1>e^xdsinx
=[e^xsinx]<0,1>-∫<0,1>e^xsinxdx
=esin1+∫<0,1>e^xdcosx = esin1+[e^xcosx]<0,1>-I1,
得 I1 = (esin1+ecos1-1)/2
则 I = e(1+sin1)-(1-sin1)/e -(esin1+ecos1-1)
= -1+e(1+cos1)-(1-sin1)/e。
求谁的最大值？ f(x)的？
f'(x)=cosxe^x+(sinx+1)e^x=(1+sinx+cosx)e^x
=[1+√2sin(x+π/4)]e^x=0,
得 sin(x+π/4)=-1/2, 在区间[1，2]上没有驻点。
则最小值是f(1)=(1+sin1)e, 最大值是f(2)=(1+sin2)e^2。