Question

运用洛必达法则解题

Answer 1

洛必达(l'hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
洛必达法则
（定理）
　　设函数f(x)和f(x)满足下列条件：
　　（1）x→a时，limf(x)=0,limf(x)=0;
　　（2）在点a的某去心邻域内f(x)与f(x)都可导，且f(x)的导数不等于0;
　　（3）x→a时，lim(f'(x)/f'(x))存在或为无穷大
　　则x→a时，lim(f(x)/f(x))=lim(f'(x)/f'(x))

Answer 2

解：原式=e^[lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)]。
而，lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)，属“0/0”型，用洛必达法则，
∴lim(x→0)(1/x²)ln(sinx/x)=(1/2)lim(x→0)(xcosx-sinx)/(x²sinx)=(-1/2)lim(x→0)1/(2+xcosx/sinx)=-1/6，
∴原式=e^(-1/6)。
【另外，可用等价无穷小量替换而“简捷”求解。x→0时，sinx~x-(1/6)x³，∴原式=lim(x→0)[1-(1/6)x²]^(1/x²)=e^(-1/6)】供参考。