Question

这个公式是怎么个意思呢？实在看不懂，很抽象。求牛人解答。谢谢！~

Answer 1

1. 该公式是求原函数时作的一个代换。用到的公式称为“万能公式”。

2. 公式：sinx=2tan(x/2)/(1+(tan(x/2)^2))

            cosx=(1-(tan(x/2))^2)/(1+(tan(x/2)^2))

            tanx=2tan(x/2)/(1-(tan(x/2)^2))

   "万能"是指3个函数都能用tan(x/2)表示出

3. 所给公式其实就是：设t=tan(x/2)     则x=2arctan(t), 

   sinx=2t/(1+t^2),cost=(1-t^2)/(1+t^2),    dx=(2/(1+t^2))dt

   将原不定积分转化为关于t的有理式积分，最后将结果用t=tan(x/2) 代入还原即可。

 

希望对你有点帮助！

追问

你说的这个我知道的，只是上面的那个式子R和R1实在是不明白，抽象的概念有点看不明白。

追答

R(u,v)、R1(u,v)是u、v的二元有理式函数。
例3.19中 （1）R(u,v)=1/(1+u), (2)R(u,v)=(2-u)/(2+v)

追问

这个我也是知道的，我不知道的是R1会是什么呢？
R(u,v)=1/(1+u)
R1(u,v)是不是等于1/(1+u^2)呢？
上面的公式里面我不明白的都是后面的R1（sinx^2,cosx）sinx 和R1（sinx,cosx^2）cosx等。谢谢。

追答

对R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) 的理解：
R(u,v)是一个有理式，上式成立即 R(-u,v)=-R(u,v)
相当于把R(u,v)看成u为变元的一元函数时，它是关于u的奇函数。
若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx) ，又R(u,v)是一个有理式。则
R(sinx,cosx)可分离出一个sinx因式，且剩下的式有理式中，sinx一定是偶次，
即 R(sinx,cosx)=R1((sinx)^2,cosx).sinx
可得：R(sinx,cosx)dx=R1((sinx)^2,cosx).sinxdx=-R1(1-(cosx)^2,cosx).dsinx
再换元即可。
其它两个类似