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极坐标法的几何意义
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用极坐标解决几何问题的方法。在直角坐标系中(x,y),x被ρcosθ代替,y被ρsinθ代替,ρ=(x^2+y^2)^0.5,从而得到新的方程。这样的方程常常用来解决曲线问题,如椭圆曲线、纽线、螺线等等,可以使解题更加清晰简便。
设曲线C的极坐标方程为r=r(θ)。
则C的参数方程为{
x=r(θ)cosθ
y=r(θ)sinθ
其中θ为极角。
由参数方程求导法,得曲线C的切线对x轴的斜率为
yˊ=rˊ(θ)sinθ+r(θ)cosθ∕rˊ(θ)cosθ-r(θ)sinθ=rˊtanθ+r∕rˊ-rtanθ
设曲线C在点M(r,θ)处的极半径OM与切线MT间的夹角为Ψ,则Ψ=α-θ(如图)
故有tanΨ=tan(α-θ)=yˊ-tanθ∕1+yˊtanθ
将yˊ代入,化简得tanΨ=r(θ)∕rˊ(θ)
这一重要公式表明:在极坐标系下,曲线的极半径r(θ)与其导数rˊ(θ)之比等于极半径与曲线切线之夹角的正切。
设曲线C的极坐标方程为r=r(θ)。
则C的参数方程为{
x=r(θ)cosθ
y=r(θ)sinθ
其中θ为极角。
由参数方程求导法,得曲线C的切线对x轴的斜率为
yˊ=rˊ(θ)sinθ+r(θ)cosθ∕rˊ(θ)cosθ-r(θ)sinθ=rˊtanθ+r∕rˊ-rtanθ
设曲线C在点M(r,θ)处的极半径OM与切线MT间的夹角为Ψ,则Ψ=α-θ(如图)
故有tanΨ=tan(α-θ)=yˊ-tanθ∕1+yˊtanθ
将yˊ代入,化简得tanΨ=r(θ)∕rˊ(θ)
这一重要公式表明:在极坐标系下,曲线的极半径r(θ)与其导数rˊ(θ)之比等于极半径与曲线切线之夹角的正切。
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